Диоген Лаэртский (начало III в. н.э.): "Наконец, одни философы называются физиками, за изучение природы; другие — этиками, за рассуждение о нравах; третьи — диалектиками, за хитросплетение речей. Физика, этика и диалектика суть три части философии; физика учит о мире и обо всем, что в нем содержится; этика — о жизни и свойствах человека; диалектика же заботится о доводах и для физики и для этики."

Квантовая теория гравитации

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ 

 

Климец Александр П.

 

 Simplex sigillum veri (Простота — печать истины)

Введение

По отдельности квантовая механика и общая теория относительности Эйнштейна экспериментально подтверждены. Однако еще ни разу не исследовался случай, когда можно было бы проверить обе теории одновременно. Дело в том, что квантовые эффекты заметны лишь в малых масштабах, а для того, чтобы стали заметны эффекты общей теории относительности, требуются большие массы. Объединить оба условия можно лишь при каких-то экстраординарных обстоятельствах.

Помимо отсутствия экспериментальных данных существует огромная концептуальная проблема: общая теория относительности Эйнштейна полностью классическая, т.е. не квантовая. Для обеспечения логической целостности физики нужна квантовая теория гравитации, объединяющая квантовую механику с общей теорией относительности. И вот уже около 80 лет физиками всего мира предпринимаются отчаянные попытки в создании теории, объединяющей два столпа современной физики: общую теорию относительности и квантовую теорию. Однако, несмотря на многолетние активные исследования, никто пока так и не смог сформулировать последовательную и полную квантовую теорию гравитации. Сегодня двумя ведущими кандидатами на квантовую теорию гравитации являются теория струн и теория петлевой квантовой гравитации[4], [7], [8]. Я не буду пробовать рассматривать эти подходы. Мне представляется, что оба они неверны. Приведу мнение авторитетного ученого, подтверждающего данную точку зрения:

журнал "В МИРЕ НАУКИ", ноябрь 2004, № 11, Космология , статья "ЧТО БЕСПОКОИТ ФИЗИKОВ?"

Беседа Клаудии Дрейфус с Лоренсом Кроссом

Известность декану физического факультета Университета Западного резервного района Лоренсу Кроссу (Lawrence Krauss) принесло его пророчество о том, что таинственная темная энергия может стать ключом к пониманию начальной стадии развития Вселенной. Многие знают его как активного общественного деятеля. Кросс - один из 60 известных ученых, подписавших в феврале 2004 г. открытое письмо, в котором подвергается резкой критике неправильное отношение администрации Буша к науке. Однако широкой публике он больше знаком как автор серьезных критических статей и научно-популярных книг. Его бестселлер "Физика Звездного пути" (The Physics of Star Trek) переведен на 15 языков. Сейчас Кросс заканчивает свою седьмую книгу - "Спрятанные в зазеркалье: Загадочное очарование дополнительных измерений" (Hiding in the Mirror: The Mysterious Allure of Extra Dimensions), которую он называет "исследованием нашего давнего литературного, художественного и научного романа с идеей о существовании скрытых вселенных". Ученый дал интервью корреспонденту Scientific American Клаудии Дрейфус (Claudia Dreifus).

Scientific American (SA): Что же сегодня беспокоит физиков больше всего?

Лоренс Кросс (ЛК): Сегодня перед нами стоят три насущных вопроса: какова природа темной энергии, как согласуется испарение черных дыр с квантовой механикой и, наконец, существуют ли дополнительные измерения? Все они связаны между собой и требуют пересмотра взглядов на квантовую теорию гравитации. Кто-нибудь непременно должен выдвинуть совершенно новую идею. Трудно предсказать, когда это произойдет. В 1904 г. нельзя было предвидеть, что годом позже появится замечательная теория Альберта Эйнштейна.

Я думаю, что эти вопросы скорее всего будут решены теоретическим, а не опытным путем, поскольку пока мы не в состоянии проводить эксперименты, результаты которых помогли бы нам найти правильный ответ. Готов держать пари, что решение не будет похоже ни на одну из известных ныне теорий, включая теорию струн.

SA: Теория струн не оправдала ожиданий?

ЛК: Не совсем так. Но я считаю, что ее время уже прошло. И теория струн, и теория петлевой квантовой гравитации выросли из математических затруднений в общей теории относительности.

Когда вы пытаетесь исследовать физические явления во все меньших масштабах, гравитация действует все хуже и хуже. В конечном счете получаются бесконечно большие значения. Почти все попытки создать квантовую теорию гравитации сводятся к объяснению природы таких бесконечностей. В теории струн и в теории петлевой квантовой гравитации эта трудность преодолевается "в лоб": расстояния меньше некоторой величины попросту не рассматриваются. Обе теории основаны на предположении, что частицы не могут уменьшаться до нулевых размеров и превращаться в точечные объекты - верный способ избавиться от математических бесконечностей. По-моему, главное различие между двумя теориями состоит в том, что теория струн значительно богаче интеллектуально и математически. Она не справилась со многими физическими проблемами, но зато вдохновила ученых на целый ряд интересных математических открытий. Мне кажется, что петлевая квантовая гравитация не дала даже этого.

SA: Вы утверждаете, что теория струн действительно ни к чему нас не привела?

ЛК: Ни теория струн, ни петлевая квантовая гравитация не помогли нам в решении основных физических проблем, среди которых я бы особо выделил существование загадочной темной энергии. Теория струн подарила нам идею о множественности миров или дополнительных измерений, поскольку именно на них она и основана. Сначала в ней было целых 26 измерений, потом оказалось, что и 10 достаточно. Но наша Вселенная четырехмерна (три пространственных измерения плюс время), и много сил было потрачено только на то, чтобы объяснить невидимость дополнительных измерений. Кое-кто даже пытался превратить недостаток в достоинство, заявляя, что дополнительные измерения можно как-то обнаружить.

SA: Вы только что закончили книгу о параллельных вселенных. Думаете, они существуют?

ЛК: Я бы ответил так: параллельные миры - захватывающая область физики, особенно для молодых ученых. Но мне кажется, что дополнительные измерения не стоят того. Предлагаемые модели параллельных вселенных не очень-то согласуются с тем, что мы знаем из физики элементарных частиц об объединении сил природы. Как ни заманчива идея о существовании больших дополнительных измерений, она скорее всего неверна. Впрочем, время покажет.

Итак, ни теория струн, ни теория петлевой квантовой гравитации не помогают в решении основных физических проблем. Поэтому необходимо найти иной путь в построении квантовой теории гравитации. Ниже я изложу этот путь.

Квантование слабого гравитационного поля

Основное уравнение общей теории относительности (1) является нелинейным уравнением, существенно нелинейным. Для гравитационных полей несправедлив принцип суперпозиции. Поэтому его квантово-механическое решение вызывает серьезные затруднения [1]. Здесь мы рассмотрим не первоначальное уравнение Эйнштейна, а его линеаризованный вариант [10]. Это даёт возможность проанализировать его квантовомеханически. При этом обнаруживается выход в область планковских масштабов и энергий, что, видимо, указывает на верность избранного пути.

Основное уравнение Эйнштейна имеет вид

G i k = (8p k/c4) T ik …………………….(1)

где G i k = R ik - 1/2 g i k R - тензор Эйнштейна, T ik - тензор энергии-импульса источника гравитационного поля, k - гравитационная постоянная, c - скорость света.

Перейдем к пределу слабого поля

g i k= h i k + h i k , …… | h i k | < < 1 ………..(2)

где h i k - метрика Минковского.

В приближении слабого поля, используя систему координат, в которой справедливо (2), можно разложить уравнения поля по степеням h i k и без большой потери точности удерживать только линейные члены. Получающийся формализм представляет собой теорию, имеющую право на самостоятельное существование и называющейся "линеаризованная теория тяготения". Фактически это как раз та теория, которая получается для классического поля, соответствующего квантовомеханическим частицам, имеющим 1) нулевую массу покоя; 2) спин 2; и находящимся 3) в плоском пространстве-времени [11].

В [10] показано, что с учетом (2) уравнения поля Эйнштейна (1)

2G i k = (16p k/c4) T ik

можно записать в виде

- h iк,mm - h i k h mn,mn + h imm,k + h kmm,i = (16p k/c4) T ik ……….(3)

где h = h - (1/2) h i k h

Первый член этих линеаризованных уравнений представляет собой обычный даламбертиан в плоском пространстве-времени, а остальные члены служат только для сохранения "калибровочной инвариантности" уравнений.

Не теряя общности, можно наложить "калибровочные условия"

h im,m = 0 ……………….(4)

Эти калибровочные условия являются тензорным аналогом лоренцевой калибровки Am,m = 0 электромагнитной теории. Уравнения поля (3) в таком случае принимают вид

-(1/2) h iк,mm = (8p k/c4) T ik ………………(5)

"Калибровочные условия (4), уравнения поля (5) и определение метрики

g i k= h i k + h i k = g i k= h i k + h i k - (1/2) h i k h………….(6)

представляют собой основные уравнения линеаризованной теории тяготения в лоренцевой калибровке." [10,т.2,c.70]

Далее. Пространство-время разделено на 1) внутреннюю область источника, которая окружена 2) вакуумной областью сильного поля, которая, в свою очередь окружена 3) асимптотически плоской зоной слабого поля. Здесь мы рассматриваем только асимптотически плоские области.

Источнику гравитационного поля можно приписать полную массу-энергию Мc2, 4-скорость Ui, полный 4-импульс Pi и вектор собственного момента импульса Si. 4-векторы Ui, Pi, Si могут существовать и свободно перемещаться в асимптотически плоской области пространства-времени (при пренебрежимо малой кривизне параллельный перенос по замкнутым кривым не изменяет Ui, Pi и Si ), 4-скорость Ui определяется как 4-скорость асимптотически покоящейся системы отсчета (U0 = 1, U = 0 в покоящейся системе отсчета). Полный 4-импульс определяется как Pi = McUi.

Будем искать 4-импульс источника гравитационного поля. Линеаризованное уравнение поля Эйнштейна (5) можно проинтегрировать по 3-мерной гиперповерхности V k.

т (-g)1/2G i k d V k = (8p k /c4) т (-g)1/2T ik d V k……… (7)

где G i k = -(1/2) h iк,mm

Тогда правая часть в (7) принимает вид

(8p k /c4) т (-g)1/2T ik d V k = (4p 2 k /c 3) P i………………(8)

где Pi - 4-импульс материи и является тензором в асимптотически плоской области, окружающей источник. Из объемного интеграла (8) с помощью теоремы Гаусса нетрудно вычислить интегральный гауссовый поток для полного 4-импульса источника, где замкнутая двумерная поверхность интегрирования должна полностью окружать источник. Отметим, что 4-импульс Pi в данном случае является сохраняющейся величиной. Пространство-время должно быть асимптотически плоским. Только в этом случае можно применять линеаризованную теорию и только на основе применимости линеаризованной теории вдали от источника можно обосновать использование интегралов в полной нелинейной теории. Никто не может заставить физика двигаться вблизи от источника. К тому же и нет необходимости так поступать. Требование, чтобы пространство-время было асимптотически плоским является решающей особенностью объемного интеграла (8). Даже координаты должны асимптотически переходить в координаты Минковского, иначе приведенные выше формулы будут не верны. "При вычислении 4-импульса линеаризованной системы интегральный поток необходимо применять только в координатах, асимптотически переходящих в координаты Минковского. Если такие координаты не существуют (пространство-время не является асимптотически плоским на бесконечности), то необходимо полностью отказаться от интегрального потока и основанного на нем по определению величины 4-импульса гравитирующего источника. Линеаризованная теория гарантирует, что при преобразованиях Лоренца интеграл Pi будет преобразовываться как тензор в специальной теории относительности и он будет инвариантным относительно бесконечно малых преобразований координат (калибровочных преобразований)."[10,т.2,с.100]

Левую часть уравнения (7) можно записать следующим образом

т (-g)1/2G i k d V k = 4p R i…………………….(9)

где G i k = -(1/2) h iк,mm

Каким образом можно интерпретировать величину Ri в (9) ? Величина Ri имеет размерность длины. Тензор Gik в (9) имеет размерность -2. Процедура интегрирования в (9) приводит к увеличению степени подынтегрального выражения. В данном случае происходит преобразование от отрицательной второй степени к положительной первой степени. Величина Ri в (9) связана с импульсом гравитационного поля, где роль массы с точностью до числового множителя принадлежит гравитационному радиусу источника поля. В общей теории относительности просто нет других претендентов размерности длины, прямо пропорционально связанных с энергией-импульсом частицы, кроме ее гравитационного радиуса. Покажем, что это действительно так.

Линеаризованное уравнение Эйнштейна (5) после интегрирования принимает следующий простой вид

R i = ( 2 k /c 3) P i……………………………… (10)

Теперь запишем уравнения движения. 4-импульс P i в (10) равен

P i = Mc dxi / ds

где M - масса источника, dxi / ds = Ui - его 4 - скорость. В частности, в случае статического поля dxa /ds = 0 (a = 1, 2, 3 ), dx0 / ds =1 и из (10) мы будем иметь

R 0 = ( 2 k /c 3) P 0 = ( 2 k /c 3) Mc ( dx0 / ds ) = ( 2 k /c 2) M = Rg …………(10')

В (10') R 0 есть не что иное как гравитационный радиус источника Rg , если положить, что след тензора энергии-импульса Т равен нулю. Этот вывод получается из следующих соображений: гравитационный радиус Rg определен как

Rg = (2k/c3)Mc

В статической ситуации полная масса Mc = P0 равна

P0 = Mc = 2/c т (-g)1/2(T00 - (1/2)T) dV0= 1/c т (-g)1/2(T00 - T11 - T22 - T33) dV0

см [9,с. 447]. Однако из (8) следует, что

P 0 =1/c т (-g)1/2T00 dV0

Следовательно, уравнение (10') является правильным только в том случае, если след тензора энергии-импульса T равен нулю.

А.Эйнштейн в критическом 1915 году высказал мнение, что "существенной составной частью "материи" могут быть гравитационные поля. В таком случае хотя и может казаться, что величина T для всей системы положительна, в действительности положительна лишь величина T + t , (где t - след псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля), а T всюду обращается в нуль… Тот, кто не отклоняет заранее гипотезу, что молекулярные гравитационные поля являются существенной составной частью материи, обнаружит здесь сильную поддержку своему убеждению." [14].

Однако в [5] показано, что существенной составной частью материи на планковском уровне как раз и являются гравитационные поля. Смотрите также [3].

Тогда в общем случае уравнение (10) для гравитирующего источника в асимптотически плоской области можно записать следующим образом

R i = ( 2 k /c 3) Mc dxi / ds = Rg Ui………………(10'')

где Rg - гравитационный радиус источника, Ui - 4-скорость источника. Отсюда Ui = Ri / Rg . .Сравните: Ui = dx i / ds , а также Ui = P i / mc .

Уравнение (10'') R i = Rg Ui похоже на уравнение для четырехимпульса P i = mc Ui , если в качестве массы принять величину гравитационного радиуса Rg . Поэтому с точностью до числового множителя величину R i можно считать 4-импульсом гравитационного поля.

Теперь проанализируем уравнение (10) с квантово-теоретической точки зрения. Для перехода к квантовой теории заменим динамические переменные Ri и Pi операторами. Тогда в координатном представлении уравнение (10) примет вид

( P i - ( c 3 / 2 k) R i )y = 0 …………….(11)

где P i - оператор i-той компоненты 4-импульса материи, а R i - оператор i-той компоненты 4-импульса гравитационного поля. Из (11) получаем следующее уравнение

- i ћ ( y/ x i ) - c3/2 k (R i y) = 0…………………… (12)

где ћ - постоянная Планка.

Уравнение (12) является основным уравнением квантовой теории гравитации для поля вдали от гравитирующих источников, в асимптотически плоской области пространства-времени. Это уравнение, видимо, описывает движение квантовой частицы в классическом гравитационном поле R i . В этом случае к нему, скорее всего, нужно применить метод вторичного квантования для того, чтобы "уравнять в правах" квантовую частицу и гравитационное поле.

Кванты гравитационного поля определяются с помощью следующего выражения (смотри ниже по тексту)

R i =2 l2пл k i

где ki - волновой 4 - вектор.

Уравнение (12) можно представить и как уравнение для собственных функций i-составляющей гравитационного импульса R i :

R i y = - 2 i (k ћ/c3) ( y/ x i ) .....................(13)

Уравнение (13) имеет решения при любых значениях параметра R i . Следовательно, R i не квантуется (спектр собственных значений Ri непрерывен). Из размерных соображений и из (13) следует, что оператор i-составляющей 4-импульса гравитационного поля R i в координатном представлении будет иметь вид

R i = - 2i l2пл / x i ……………….(14)

где lпл - фундаментальная планковская длина, которая появляется здесь автоматически, а не вводится искусственно, как, например, в теории струн [4].

Естественно, в этом случае уравнение (12) становится тривиальной идентичностью, где любая функция y удовлетворяет (12).

Из (13) следует, что собственные функции оператора гравитационного импульса Ri имеют вид плоских волн

y = y0 exp [( i / 2l2пл ) R i x i ]……………….. (15)

Из выражения для оператора R i следует, что сопряженные компоненты R i и x i в планковских масштабах длин не коммутируют между собой

R i x i - x i R i = - 2i l2пл ...................... (16)

где R i и x i - операторы. Отсюда также следует соотношение неопределенностей

D R i D x i і l2пл …………………….. (17)

т.е. чем меньше неопределенность координаты x i , тем больше неопределенность сопряженной i-той компоненты гравитационного импульса поля источника R i и наоборот.

Действительно, согласно определению 4-векторов, производные y/ x i составляют ковариантный вектор, где y = y ( x i ) - скалярная функция. Тогда находим, что произведение операторов R i и x i некоммутативно

(R i x i - x i R i ) y ( x i ) є - 2i l2пл / x i [ x i y ( x i )] -

- x i (- 2i l2пл ) / x i [ y ( x i )] = - 2i l2пл y ( x i )

Подчеркнём, что по i в последнем уравнении нет суммирования.

Соотношение неопределенностей (17) можно преобразовать следующим образом

D R i D x i і l2пл = D (R gUi ) D ( S U i ) і l2пл

где R g - гравитационный радиус, S - инвариантный интервал, Ui - 4- скорость. И так как Ui U i = 1, то мы получаем следующее соотношение неопределенностей

D R g D S і l2пл ……………(17' )

Из соотношения неопределенностей (17) или (17' ) следует, что в планковских масштабах длин при попытке более точного определения координаты источника (точнее, чем интервал 10-33 см), увеличивается неопределенность гравитационного радиуса источника, который становится больше длины 10-33 см. Получить точную информацию о координате источника, спрятанного под горизонтом событий, становится практически невозможно (источник в таких масштабах превращается в черную дыру). С другой стороны, когда гравитационный радиус источника становится меньше планковской длины, неопределенность координаты источника растет и определить точное местоположение его горизонта событий также невозможно.

Соотношения неопределенностей (17) или (17') говорят о том, что: "масштаб Планка является пределом расстояния, меньше которого сами понятия пространства и длины перестают существовать. Любая попытка исследовать существование более коротких расстояний (меньше, чем 10-33 см), осуществляя столкновения при более высоких энергиях, неизбежно закончилась бы рождением черной дыры. Столкновения при больших энергиях, вместо того, чтобы дробить вещество на более мелкие кусочки, приведут к рождению черных дыр все большего размера." [13]. Действительно, уменьшение пространственно-временного интервала S, согласно соотношению (17'), ведет к увеличению гравитационного радиуса Rg, то есть к рождению черной дыры большего размера. Таким образом, появление планковских черных дыр знаменует конец важного направления науки.

Из (17) видно, что гравитационный радиус источника и его координата флуктуируют в пределах планковской длины. Физическая материя в планковском масштабе длин существует только в чернодырном состоянии. Поэтому планковская длина 10 -33 см является минимально возможной измеримой длиной, допустимой в физике микромира.

"Эти мелкомасштабные флуктуации говорят о том, что повсюду в пространстве все время происходит нечто похожее на гравитационный коллапс, что гравитационный коллапс по существу постоянно совершается, но постоянно совершается и обратный процесс, что кроме гравитационного коллапса Вселенной и звезды необходимо рассматривать также третий тип коллапса и, поскольку для него непрерывно идет обратный процесс, наиболее важен уровень гравитационного коллапса при планковском масштабе расстояний" . [10, т.3, c.459]

Сделаем замечание относительно соотношения неопределённостей (17) или (17'). Неопределённость несёт смысл среднеквадратичной ошибки измерения. Нужно как-то измерить x i и R i на планковских масштабах, чтобы получить эту ошибку? За этими символами стоит (должна стоять) процедура измерения. Иначе это не наблюдаемые величины, и тогда их не имеет смысла вводить в теорию. В чём и смысл, и парадоксальность квантовой механики. Но инструменты для измерения реальны только до границы планковских масштабов[5]. Далее они сами коллапсируют, превращаются в планковские черные дыры.

Однако сущность соотношения неопределенностей состоит не столько в том, что координату x i и гравитационный импульс R i нельзя одновременно измерить, сколько в том, что эти понятия в ряде случаев не являются точно определенными. Соотношение неопределенностей (17) - это не следствие принципиального несовершенства измерительных приборов, а математическая теорема. Обычно говорят, что соотношение неопределенностей возникает из-за взаимодействия измерителя и измеряемого объекта. Но это соотношение возникает с самого начала, еще до вопроса об измерении. Соотношение неопределенностей (17) является следствием аппарата квантовой механики. Неопределенность, выражаемая соотношением (17), возникает из-за того, что мы пытаемся измерить то, что не имеет определенного значения.

Рассмотрим некоторые результаты, вытекающие из соотношения неопределенностей (17').

Оценка выражения для пространственно-временной метрики dS 2 на планковском уровне. Позволяя довольно простым путем получить важные оценки, найденное соотношение неопределенностей (17) или (17' ) оказывается полезным рабочим инструментом квантовой теории гравитации. В качестве примера рассмотрим выражение для пространственно-временной метрики dS 2 для центрально-симметричного гравитационного поля. В классической общей теории относительности оно имеет вид

dS 2 = (1 - Rg / R)c2dt 2 - dR2 / (1 - Rg / R) - R2(dW 2 + sin2 W dj 2 ) ..........(18)

Чтобы использовать классическое выражение (18) в квантовой теории гравитации, будем рассматривать величины Rg и R, входящие в него, как неопределенности соответственно гравитационного радиуса и координаты частицы. Согласно соотношению (17'), эти величины связаны друг с другом

Rg R » l2пл или проще Rg R = l2пл ……………..(19)

Отсюда получаем Rg = l2пл / R

Используя это выражение, исключим величину Rg из (18). Получим

dS 2 = (1 - l2пл / R2) c2dt 2 - dR2 / (1 - l2пл / R2) - R 2(dW 2 + sin2 W dj 2 ) ………..(20)

Это уравнение совпадает с уравнением (22) из моей статьи [5], посвященной геонам. Из (20) мы видим, что метрика пространства-времени ограничена снизу планковской длиной lпл . На планковском уровне материя переходит в чернодырное состояние, коллапсирует.

Аналогичным образом необходимо поступить и с другими выражениями, получаемыми в рамках общей теории относительности. Здесь мы, конечно, предполагаем, что канонические уравнения классической общей теории относительности сохраняют свой вид и на планковском уровне.

В макроскопической физике, встречаясь с тяжелым телом, надо прежде всего оценить его гравитационный радиус, и мы уже будем знать многое о величине эффектов, связанных с общей теорией относительности. Например, масштаб изменения хода часов определяется безразмерным параметром: отношением гравитационного радиуса Rg к расстоянию до центра притяжения R. Для Солнца он составляет примерно 4*10-6 или 1,76'', то есть луч света, проходя вблизи края диска Солнца, отклонится на величину порядка 4*10-6 радиан. Для Меркурия этот параметр будет составлять 10-7, что за сто земных лет дает для смещения перигелия Меркурия 43 ''. С помощью этого безразмерного параметра можно также оценить, например, скорость Меркурия, приравняв центробежную силу инерции центростремительной силе. Этот же параметр входит и в третий закон Кеплера (о чем его автор, конечно, и не подозревал). Не удивительно, что Rg входит и во все остальные оценки: просто никакой другой величины размерности длины, кроме Rg, составить нельзя. Но отношение Rg / R на планковском уровне имеет вид l 2пл / R2 , поэтому для того, чтобы сделать оценку любого соотношения, получаемого в рамках классической общей теории относительности применительно к планковскому уровню, необходимо отношение Rg / R заменить выражением l2пл / R2. Тогда, например, в центрально-симметричном гравитационном поле метрический коэффициент g 00 будет иметь вид

g 00 = 1 - l 2пл / R2

Аналогично, чтобы оценить величину флуктуаций скорости света (отклонение скорости света от классического значения) на планковском уровне при распространении его в гравитационном поле на расстояние R, необходимо руководствоваться следующим соотношением

с' = с(1 + 2Ф/с2) = с(1 - Rg / R) = с(1 - l 2пл / R2)

Видно, что флуктуации скорости света наиболее значительны именно на планковском уровне и их величина определяется не планковской длиной l пл, а ее квадратом l 2пл.

Известно, что содержащейся в классических соотношениях информации недостаточно для построения аппарата квантовой механики. Необходима дополнительная информация о свойствах коммутирования рассматриваемых операторов. Иначе говоря, классические соотношения должны быть дополнены перестановочными соотношениями. Именно в перестановочных соотношениях заключена та специфическая информация, без которой немыслим аппарат квантовой механики, в том числе и квантовой теории гравитации. В этой связи подчеркнем, что в правую часть найденных нами выше перестановочных соотношений входит специфическая квантово-гравитационная постоянная - квадрат планковской длины l2пл. Переход от квантовой теории гравитации к классической гравитации требует положить l2пл = 0. В этом случае все величины, входящие в перестановочное соотношение, начинают коммутировать и в результате квантово-гравитационное выражение превращается в подлинное уравнение классической теории гравитации, в данном случае в уравнение (10). Именно присутствие в правой части указанного равенства хотя и малой, но все же отличной от нуля постоянной l2пл и должно обусловить все своеобразие квантово-гравитационных представлений.

В аппарате квантовой теории гравитации на месте величин, характеризующих в обычной теории гравитации (общей теории относительности) состояние физической системы, должны выступать символические операторы, подчиненные некоммутативному правилу умножения, найденному выше (16), содержащему квадрат планковской длины l2пл. Это позволит найти спектральное распределение этих величин. В соответствии с принципом дополнительности Бора, канонические уравнения классической общей теории относительности сохранят свой вид, но физические переменные должны замениться символическими операторами, подчиняющимися правилам некоммутативной алгебры.

Из (10) также следует, что наряду с соотношениями Е =ћ w и P = ћ k можно записать соотношение

R i =2 l2пл k i

где ki - волновой 4 - вектор. Родство этого соотношения и уравнения (10) очевидно. Достаточно подставить в (10) вместо Pi величину ћ k i .

По аналогии с квантом энергии-импульса материи Pi = ћ k i , величину R i =2 l2пл k i мы должны назвать ( с точностью до числового множителя) "квантом энергии-импульса гравитационного поля". Такие кванты мы должны, видимо, отождествить с гравитонами.

Из выражения R i =2 l2пл k i мы видим, что квантуется не пространство-время, а радиус кривизны пространства-времени R i (или кривизна пространства-времени 1/ R i) или, с точностью до числового множителя, энергия-импульс гравитационного поля.

На планковском уровне (см. [3], [5]) квантовая теория гравитации, скорее всего, является теорией планковских черных дыр, но не теорией планковских струн, как утверждается в [4].

Как подчеркивалось выше, интегрирование должно проводиться по достаточно удаленной гиперповерхности, где пространство-время является асимптотически плоским. К такому случаю как раз и относится интегрирование по гиперповерхности  V i, охватывающей планковскую область пространства-времени, где кривизна пространства-времени становится несущественной уже в масштабе 10 -32 см (см.[5]). В [5] показано, что 4-пространство-время становится асимптотически плоским практически на горизонте событий планковской черной дыры. Действительно, выше, а также в [5] установлено, что в шварцшильдовской метрике в планковских масштабах длин метрический коэффициент g 00 имеет вид

g 00 = 1 - l 2пл / R2 ………………(21)

Из (21) видно, что на горизонте событий ( g 00 = 0) R = l пл = 10 -33 см. Однако уже при R = 10 -32 см метрический коэффициент g 00 равен

g 00 = 1 - 0,01 = 0,99

то есть уже на этом расстоянии пространство-время является практически плоским (g 00 примерно равен единице). При R = 10 -31 см метрический коэффициент g 00 еще на порядок ближе к единице и равен

g 00 = 1 - 0,001 = 0,999.

Поэтому мы имеем полное право рассматривать линеаризованную теорию гравитационного поля Эйнштейна с квантовомеханической точки зрения вплоть до планковских масштабов длин. И только на самом горизонте событий планковской черной дыры или под горизонтом событий такой подход становится неприемлемым. С точки зрения внешнего наблюдателя на планковском уровне в пределах длины 10-33 см положение горизонта событий является неопределенным. На этом уровне метрика пространства-времени флуктуирует.

"Квантовые флуктуации геометрии пространства на малых расстояниях столь велики, что флуктуирует даже топология, образуя "горловины" и захватывая силовые линии. Эти флуктуации надо представлять себе заполняющими все пространство ("пенообразная структура геометрии") и характеризуемыми по порядку величины планковской длиной (10-33 см). Таким образом заставляет обратить на себя внимание третий тип гравитационного коллапса - коллапс, который непрерывно и всюду совершается, но вместе с тем совершается процесс, обратный коллапсу…Коллапс при планковском масштабе длин происходит всюду и непрерывно в виде квантовой флуктуации геометрии и, по видимому, топологии пространства. В этом смысле коллапс постоянно протекает, но вместе с тем постоянно идет обратный процесс…Пожалуй, самый центральный пункт состоит в следующем: пустое пространство вовсе не является пустым - оно представляет собой вместилище самых бурных физических процессов." [10.т.3,с.465-471]

О квантовании сильного гравитационного поля

Если внутреннее поле тяготения источника слабо, то линеаризованная теория поля справедлива во всем пространстве. Но что будет, если поле тяготения сильное? Справедлива ли в этом случае операция интегрирования уравнения Эйнштейна (1)? Какого рода геометрический объект представляет собой 4-импульс Pi или величина Ri ? Он определяется с помощью измерений, выполненных в относительной удаленности от источника (например, черной дыры), где с увеличением расстояния пространство-время становится все более плоским (асимптотически плоским). Поэтому величины P i и R i можно рассматривать как i -компоненты 4-импульсов материи и гравитационного поля в "асимптотически плоском пространстве-времени", окружающем источник в асимптотической лоренцевой системе отсчета, где справедливо линеаризованное уравнение Эйнштейна.

Таким образом, "в окрестности области с любой, как угодно сложной динамикой, если только с некоторой точностью геометрия асимптотически плоская, имеет смысл с той же точностью говорить о полном 4-векторе энергии-импульса динамической области Р и ее полном собственном моменте импульса S . Параллельный перенос каждого из этих векторов по любой замкнутой кривой в плоской области оставляет их неизменными. Более того, он не зависит от того, насколько сильны отклонения от плоского пространства-времени в динамической области (черные дыры, коллапсирующие звезды, интенсивные гравитационные волны и т.д.); вдали кривизна будет слабой и 4-импульс и момент импульса будут обнаружены по их отпечаткам на геометрии пространства-времени." [10, т.2, с. 95)]

Интегрирование же уравнений сильного (нелинейного) гравитационного поля Эйнштейна (1) в общей теории относительности (не линеаризованных) не определено по той простой причине, что надо просуммировать вклады от компонентов G ik и T ik . Но последние зависят от выбора базиса (системы отсчета) на многообразии. Кривизна здесь играет решающую роль, т.к. на многообразии с ненулевой кривизной невозможно ввести единую ("выделенную") систему координат, в отличие от плоского пространства.

Поэтому, чтобы просуммировать интегральные суммы по какой-то области, необходимо найти определенное соответствие между значениями G ik и T ik в точках этой области, принадлежащим вообще говоря различным расслоениям. Единственная возможность сделать это - это совершать параллельный перенос G ik и T ik из одной точки в другую, пока не просуммируется вся интегральная сумма.

Но процедура параллельного переноса единственна только в плоском пространстве, тогда как на многообразии ненулевой кривизны она будет зависеть от пути переноса.

Эта неопределенность при интегрировании приводит к тому, что пока не существует квантовой теории для сильного (нелинейного) гравитационного поля и выписанное выше уравнение (12) для слабого (линейного) гравитационного поля оказывается основным и единственным уравнением квантовой теории гравитации.

Однако, как можно "спуститься" от общей теории относительности к линеаризованной теории путем линеаризации вблизи плоского пространства-времени (см. выше), так можно и подняться от линеаризованной теории к общей теории относительности путем своеобразного "бутстрапа", полагая условия совместимости линеаризованных уравнений поля и уравнений движения, или, эквивалентно, требуя, чтобы 1) линеаризованное гравитационное поле hik давало тензор энергии-импульса, 2) этот тензор энергии-импульса служил бы источником для поправок h(1)ik к гравитационному полю, 3) поправки h(1)ik давали бы тензор энергии-импульса, 4) тензор энергии-импульса служил бы источником для поправок h(2)ik к поправкам h(1)ik , 5) эти поправки снова давали бы тензор энергии-импульса и т.д.

Именно таким образом можно построить квантовую теорию гравитации для сильного гравитационного поля, начиная от квантования слабого гравитационного поля в асимптотически плоской области пространства-времени (см. выше) и последовательно поднимаясь по ступеням указанным образом к сильному гравитационному полю.

Но, как представляется автору, соотношение неопределенностей (17) или (17')

D R i D x i і l2пл……………….(17)

справедливо и в области сильного гравитационного поля. Действительно, выражение для гравитационного радиуса Rg в сильном гравитационном поле имеет следующий вид

Rg =( 2 k /c 2) M или Rg =( 2 k /c 3) Mс

Умножая это выражение справа и слева на 4-скорость Ui , получим

Rg Ui =( 2 k /c 3) Mс Ui

или Ri =( 2 k /c 3)Pi

где Pi - 4-импульс.

Отсюда оператор величины Ri имеет вид

R i = - 2 i (k ћ/c3) ( / x i )

и соответствующее коммутационное соотношение между координатой частицы и величиной Ri, связанной с ее гравитационным радиусом Rg имеет вид

(R i x i - x i R i ) y ( x i ) є - 2i l2пл / x i [ x i y ( x i )] -

- x i (- 2i l2пл ) / x i [ y ( x i )] = - 2i l2пл y ( x i )

откуда получаем соотношения неопределенностей

D R i D x i і l2пл или D R g D S і l2пл

Отсюда следует, что планковский вакуум состоит из виртуальных планковских черных дыр.

К аналогичному выводу мы приходим и из анализа размерностей. Действительно, гравитационное поле совершает нулевые колебания. Оценим порядок длины волны нулевых гравитационных колебаний, при которой геометрия становится не похожей на евклидову. Степень отклонения x геометрии от евклидовой в гравитационном поле определяется отношением гравитационного потенциала Ф и квадрата скорости света с2:

x = Ф/ с2

Когда x << 1, геометрия близка к евклидовой; при x = 1 всякое сходство исчезает. Энергия колебания масштаба l равна

E = ћv = ћc/l ……(c/l - порядок частоты колебаний)

Гравитационный потенциал Ф, создаваемый массой m, на такой длине есть

Ф = km / l

где k - постоянная всемирного тяготения.

Вместо m следует подставить массу, которой соответствует энергия E ( m = E/c2). Получаем

Ф = kE / lc2 = k ћ / l2c

Разделив это выражение на c2, получим величину x . Приравняв x = 1, найдем ту длину, на которой полностью искажается евклидова геометрия:

lпл = (k ћ / c3)1/2

Она равна планковской длине. Здесь евклидова геометрия искажается полностью. Однако равенство

x = Ф/ с2 = 1

связано с горизонтом событий, так как именно на горизонте событий это равенство имеет место.

В самом деле, равенство Ф/ с2 = 1, приводит к соотношению

Ф = km / l = с2

Отсюда следует

l = km / с2

что совпадает, с точностью до множителя 2, с гравитационным радиусом Rg.

Это подтверждает наш вывод о том, что на планковском уровне материя существует в чернодырном состоянии и планковский вакуум состоит из виртуальных планковских черных дыр [17].

Исследования физиков показали, что черные дыры и элементарные частицы имеют много общих черт. Все черные дыры, как и элементарные частицы, за исключением массы, заряда и спина, выглядят одинаково. И те и другие выглядят как мельчайшие сгустки материи, полностью характеризующиеся массами, зарядами и спинами.

Учет эффектов квантовой гравитации (смотрите, например, мою статью о геонах [5]) показывает, что черные дыры с массой меньше планковской, не образуются. Планковские черные дыры имеют чрезвычайно малое сечение взаимодействия (~ 10-66 см2 ). Это приводит к тому, что звезды и планеты практически полностью для них прозрачны – длина свободного пробега планковской черной дыры в веществе ядерной плотности сравнима с радиусом видимой части Вселенной. Поэтому их очень трудно обнаружить.

Планковские черные дыры должны играть важную роль в физике элементарных частиц. При вычислении собственной энергии частицы обычно учитывают вклад промежуточных состояний с произвольно большой энергией, что приводит к появлению расходимостей. Учет гравитационных взаимодействий соответствующих виртуальных частиц и появление виртуальных черных дыр в промежуточном состоянии должен привести к устранению этих расходимостей.

Виртуальные планковские черные дыры должны, согласно соотношению неопределенностей DRgD S і l2пл, возникать и в вакууме в результате квантовых флуктуаций. Квантовые флуктуации гравитационного поля тем больше, чем меньше масштаб длины. В планковском масштабе (~10-33 см) флуктуации метрики порядка единицы. Пространство-время в планковских масштабах напоминает "мыльную пену". Взаимодействие элементарных частиц с пространственно-временной "пеной" может приводить к несохранению бозонного и лептонного зарядов (Хокинг). Ожидаемое при этом время жизни протона составляет ~1050 лет.

В планковских масштабах длин пустое пространство вовсе не является пустым - оно представляет собой вместилище самых бурных физических процессов. Причем эти процессы есть не что иное, как гравитационный коллапс, который непрерывно и всюду совершается, но вместе с тем совершается процесс, обратный коллапсу. Коллапс при планковском масштабе длин происходит всюду и непрерывно в виде квантовой флуктуации геометрии и, по-видимому, топологии пространства. В этом смысле коллапс постоянно протекает, но вместе с тем постоянно идет обратный процесс. Но в статье [12] я ранее показал, что образование планковских черных дыр энергетически наиболее выгодно в 3-х мерном пространстве, что скорее всего и обусловило трехмерность наблюдаемого пространства. С этой точки зрения сам факт трехмерности пространства свидетельствует о том, что в планковских масштабах длин пространство "кипит", причем "пузырьками" этой кипящей пространственной-временной "пены" являются спонтанно рождающиеся и тут же исчезающие ("испаряющиеся") виртуальные планковские черные дыры с плотностью 10 94 г/см3 . В рамках описанной картины трехмерность пространства естественным образом объясняется существованием вакуума, состоящего из виртуальных планковских черных дыр (см.[12]).

Может возникнуть вопрос, как теперь можно интерпретировать на планковском уровне операцию дифференцирования? Ведь эта операция, предполагает, что понятия пространства и длины не перестают существовать. На этот вопрос отвечает уравнение (20) из этой статьи или (22) из статьи [5].   

dS 2 = (1 - 2l2пл / R2) c2dt 2 - dR2 / (1 - 2l2пл / R2) - R 2(dW 2 + sin2 W dj 2 )……….(22) 

Из него следует, что когда мы доходим до планковских масштабов, на планковском уровне образуется пространственно-временной разрыв, дыра в пространстве, то есть операция дифференцирования теряет смысл (в уравнении (22) появляется деление на ноль). Но, казалось бы, сингулярность в метрике Шварцшильда нефизическая. Она устраняется выбором соответствующей (падающей) системы отсчета. Истинная, физическая сингулярность находится только в центре черной дыры. Действительно, если черная дыра большая, то от координатной сингулярности можно избавиться, перейдя в падающую систему отсчета. Падающий наблюдатель даже не заметит, как и когда он пересечет горизонт событий. Но для планковской черной дыры ситуация совсем другая. Чтобы пересечь планковский горизонт событий, падающая система отсчета вместе с наблюдателем должна уменьшиться до планковских размеров. Как только это произойдет, падающая система отсчета сама превратиться в планковскую черную дыру. Поэтому истинную сингулярность, находящуюся под горизонтом событий планковской черной дыры, некому и нечем верифицировать (эмпирически подтвердить). А раз так, то мы не имеем права о ней говорить, она ненаблюдаема и для удаленного наблюдателя и для падающего. Таким образом, метрическая нефизическая сингулярность на планковском уровне одновременно оказывается истинной физической сингулярностью. Другого нам просто не дано. 

Экспериментальное подтверждение теории

Две группы астрономов - одна из Алабамского университета в г. Хантсвилл, другая - из астрофизической обсерватории Арчетри (Италия) - исследовали изображения удаленных звезд и галактик. Изображения объектов оказались совершенно резкими. По мнению ученых, это противоречит гипотезе о квантовой природе пространства-времени в микромасштабах, поскольку в этом случае изображения удаленных объектов были бы нечеткими, "смазанными". Поставлены под сомнение две основополагающие теории современной физики - квантовая теория, описывающая поведение материи на микроуровне, и общая теория относительности Эйнштейна, которая описывает структуру пространства, времени и гравитации в макромасштабах.

Результаты работы поставили под сомнение существование двух физических величин - так называемой планковской длины и планковского времени. Согласно теории, это своеобразные кванты - наименьшие измеримые величины длины и времени (планковская длина равна расстоянию, которое пройдет свет в вакууме за промежуток времени, равный планковскому времени – 5x10-44 секунды).

"Теоретики весьма обеспокоены этими данными, - заявил Ричард Лью из Алабамского университета. - Возможно, мы что-то недопонимаем в физике". "Ничего подобного предсказанным ранее эффектам квантования времени и пространства мы не обнаружили", - соглашается с г-ном Лью астроном Роберто Рагаццони из обсерватории Арчетри. Он и его коллеги провели те же наблюдения, что и группа Лью, но использовали для этого другую методику. "Данные наблюдений весьма интересны и, возможно, будут иметь исключительно важные последствия, - заявил теоретик Джон из университета Ноттингэма (Великобритания). - Любая теория квантовой гравитации должна будет в дальнейшем их учитывать". Тем не менее, он сказал, что наши представления о квантовой гравитации еще не позволяют с уверенностью предсказывать эффекты.

Возможно, нечетких изображений удаленных объектов и вовсе не должно быть. Рагаццони и Лью ранее предположили, что измерить планковское время можно путем анализа изображений удаленных объектов во Вселенной. Поток электромагнитного излучения (фотонов) от такого точечного объекта, прежде чем добраться до наблюдателя, должен многократно "преодолеть" масштаб планковского времени, в результате чего его скорость будет слегка меняться, так что изображение объекта окажется искаженным. И чем дальше расположен объект, тем больше таких искажений, обусловленных "ячеистой" природой пространства и времени, накопится к тому моменту, когда его свет достигнет земного наблюдателя. Этот эффект и приведет к "размазыванию" изображения объекта.

Группа Рагаццони оценила степень ожидаемого искажения изображений удаленных объектов в зависимости от расстоянии до них. Но при сравнении изображений взорвавшейся звезды и галактики, расположенных от нас на расстояниях 42 млн. и 5 млрд. световых лет соответственно, выяснилось, что "размазывания" их изображений не удается обнаружить вообще.

О полной дискредитации теории квантования пространства и времени говорить еще, конечно, рано. У теоретиков в запасе есть, по меньшей мере, два варианта объяснения странного факта. Первый вариант исходит из того, что на микроуровне - в планковском масштабе - пространство и время варьируются одновременно друг с другом, так что скорость распространения фотонов при этом не меняется. Второе объяснение предполагает, что неоднородности скорости определяются не планковской длиной, а ее квадратом (порядка 10-66 метра), так что эти неоднородности становятся неизмеримо малыми[15] .

Действительно, из общей теории относительности следует, что если мы обозначим через с скорость света в начале координат, то скорость света с' в некотором месте с гравитационным потенциалом Ф будет равна

с' = с(1 + 2Ф/с2) = с(1 - Rg / R)

Но величина Rg / R в планковском масштабе, как мы выяснили выше, имеет вид l 2пл / R2, то есть неоднородность скорости света с' и в самом деле определяются квадратом планковской длины l 2пл и имеет вид

с' = с(1 - l 2пл / R2,)

Искажение величины скорости света с' происходит вследствие прохождения луча света через планковский вакуум, заполненный виртуальными планковскими черными дырами, и оно, естественно, зависит от плотности планковского вакуума, т.е. от того, сколько виртуальных планковских черных дыр приходится на единицу объема.

Однако из нашей статьи не следует, что пространство-время на планковском уровне имеет "ячеистую" природу и потому неоднородно. Пространство-время ограничено снизу планковской длиной, на этом уровне его невозможно верифицировать (определить опытным путем), так как любые инструменты для проведения такой верификации в планковских масштабах коллапсируют и становятся планковскими черными дырами. На самом деле квантуется, как было показано выше, не пространство-время, а кривизна пространства-времени. Это естественно, так как энергия-импульс связан не с пространством-временем, а с кривизной пространства-времени (смотри уравнение (10)) и потому квантование энергии-импульса влечет за собой и квантование кривизны пространства-времени.

С другой стороны, соотношение неопределенностей (17) свидетельствует, что на планковском уровне существует вакуум, состоящий из виртуальных планковских черных дыр. Именно он создает отрицательное давление и является, по нашему мнению, источником загадочной темной энергии. Плотность энергии вакуума не изменяется при расширении Вселенной, а это и означает отрицательное давление вакуума. Астрономические наблюдения свидетельствуют о том, что сегодня (и в недалеком прошлом) Вселенная расширяется с ускорением: темп расширения растет со временем. В этом смысле можно говорить об антигравитации: обычное гравитационное притяжение замедляло бы разбегание галактик, а в нашей Вселенной, получается, всё наоборот.

 

Литература

 

  1. Бронштейн М.П., ЖЭТФ, 6, (1936)  
  2. Климец А.П., Физика и философия. Поиск истины, Брест, "Форт", 1997  
  3. Маршаков А.В. УФН, 172 977 (2002)
  4. Климец А.П. Геоны, черные дыры и фундаментальная планковская длина или http://aklimets.narod.ru/geon.htm, 2000;
  5. S. Carlip, Quantum Gravity: a Progress, gr-qc/ 0108040, (2001) 
  6. C. Rovelli, Living Rev. Rel. 1-1 (1998).  
  7. Hawking S.W., Commun. Math. Phys., 43, 199 (1975)
  8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. "Теория поля", Москва, Физматлит, 2003
  9. Ч.Мизнер, К.Торн, Дж.Уилер, Гравитация, в 3-х томах, Москва, Мир, 1977
  10. Fierz M., Pauli W., Proc.Roy. Soc.., London, A173,241 (1939)
  11. Климец А.П. "Почему пространство трехмерно", http://aklimets.narod.ru/trexmerie.htm
  12. Б. Карр, С. Гиддингс "Квантовые черные дыры", ж-л "В мире науки", 2005, № 8
  13. А. Эйнштейн. Собрание научных трудов, т. 1, М., Наука, 1965, с. 436
  14. Nature, 11, 2005
  15. T.W.B. Kibble, Quantum Theory of Gravitation, 1965 или Т. Киббл Квантовая теория гравитации, УФН, 96 497 (1968)
  16. А.Б. Мигдал. Квантовая физика для больших и маленьких, Москва, Наука, 1989